10. 7 7 7 …… 7所得積末位數(shù)是_____.

　　50個

　　答案：

　　6.  3

　　仔細觀察題中數(shù)表.

　　1  2  3  4  5       (奇數(shù)排)

　　第一組

　　9    8  7  6       (偶數(shù)排)

　　10  11  12  13  14  (奇數(shù)排)

　　第二組

　　18  17  16  15  (偶數(shù)排)

　　19  20  21  22  23  (奇數(shù)排)

　　第三組

　　27  26  25  24  (偶數(shù)排)

　　可發(fā)現(xiàn)規(guī)律如下:

　　(1)連續(xù)自然數(shù)按每組9個數(shù),且奇數(shù)排自左往右五個數(shù),偶數(shù)排自右往左四個數(shù)的規(guī)律循環(huán)排列；

　　(2)觀察第二組,第三組,發(fā)現(xiàn)奇數(shù)排的數(shù)如果用9除有如下規(guī)律:第1列用9除余數(shù)為1,第2列用9除余數(shù)為2,…，第5列用9除余數(shù)為5.

　　(3)10 9=1…1，10在1+1組，第1列

　　19 9=2…1，19在2+1組，第1列

　　因為1992 9=221…3，所以1992應排列在（221+1）=222組中奇數(shù)排第3列數(shù)的位置上.

　　7.  7

　　=0.57142857……

　　它的循環(huán)周期是6，具體地六個數(shù)依次是

　　5，7，1，4，2，8

　　110 6=18…2

　　因為余2，第110個數(shù)字是上面列出的六個數(shù)中的第2個，就是7.

　　8.  35

　　因為0.1992517的循環(huán)周期是7,0.34567的循環(huán)周期為5,又5和7的最小公倍數(shù)是35,所以兩個循環(huán)小數(shù)在小數(shù)點后第35位,首次同時出現(xiàn)在該位上的數(shù)字都是7.

　　9.  853,570,568,8255.

　　不難看出,這串數(shù)每7個數(shù)即1,9,9,1,4,1,4為一個循環(huán),即周期為7,且每個周期中有3個1,2個9,2個4.因為1991 7=284…3，所以這串數(shù)中有284個周期，加上第285個周期中的前三個數(shù)1，9，9.其中1的個數(shù)是:3 284+1=853(個),9的個數(shù)是2 284+2=570(個),4的個數(shù)是2 284=568(個).這些數(shù)字的總和為

　　1 853+9 570+4 568=8255.

　　三、拓展提升

　　1. 緊接著1989后面一串數(shù)字，寫下的每個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù).例如8 9=72,在9后面寫2,9 2=18,在2后面寫8,……得到一串數(shù)字:

　　1  9  8  9  2  8  6……

　　這串數(shù)字從1開始往右數(shù)，第1989個數(shù)字是什么？

　　2. 1991個1990相乘所得的積與1990個1991相乘所得的積，再相加的和末兩位數(shù)是多少？

　　3. 設n=2 2 2 …… 2，那么n的末兩位數(shù)字是多少？

　　1991個

　　4．在一根長100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一個紅點，同時自右至左每隔5厘米也染一個紅點，然后沿紅點處將木棍逐段鋸開，那么長度是1厘米的短木棍有多少根？

　　答案：11.  依照題述規(guī)則多寫幾個數(shù)字:

　　1989286884286884……

　　可見1989后面的數(shù)總是不斷循環(huán)重復出現(xiàn)286884，每6個一組，即循環(huán)周期為6.因為(1989-4) 6=330…5，所以所求數(shù)字是8.

　　12.  1991個1990相乘所得的積末兩位是0,我們只需考察1990個1991相乘的積末兩位數(shù)即可.1個1991末兩位數(shù)是91,2個1991相乘的積末兩位數(shù)是81,3個1991相乘的積末兩位數(shù)是71,4個至10個1991相乘的積的末兩位數(shù)分別是61,51,41,31,21,11,01,11個1991相乘積的末兩位數(shù)字是91，……，由此可見，每10個1991相乘的末兩位數(shù)字重復出現(xiàn)，即周期為10.因為1990 10=199,所以1990個1991相乘積的末兩位數(shù)是01,即所求結果是01.

　　13.  n是1991個2的連乘積,可記為n=21991,首先從2的較低次冪入手尋找規(guī)律,列表如下:

　　n    n的十位數(shù)字    n的個位數(shù)字    n    n的十位數(shù)字    n的個位數(shù)字

　　21    0    2    212    9    6

　　22    0    4    213    9    2

　　23    0    8    214    8    4

　　24    1    6    215    6    8

　　25    3    2    216    3    6

　　26    6    4    217    7    2

　　27    2    8    218    4    4

　　28    5    6    219    8    8

　　29    1    2    220    7    6

　　210    2    4    221    5    2

　　211    4    8    222    0    4

　　觀察上表,容易發(fā)現(xiàn)自22開始每隔20個2的連乘積,末兩位數(shù)字就重復出現(xiàn),周期為20.因為1990 20=99…10，所以21991與211的末兩位數(shù)字相同，由上表知211的十位數(shù)字是4，個位數(shù)字是8.所以,n的末兩位數(shù)字是48.

　　14.  因為100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我們可以看作是從同一端點染色.

　　6與5的最小公倍數(shù)是30,即在30厘米的地方,同時染上紅色,這樣染色就會出現(xiàn)循環(huán),每一周的長度是30厘米,如下圖所示.

　　由圖示可知長1厘米的短木棍,每一周期中有兩段,如第1周期中,6-5=1,5 5-6 4=1.剩余10厘米中有一段.所以鋸開后長1厘米的短木棍共有7段.綜合算式為:

　　2 [(100-10) 30]+1

　　=2 3+1

　　=7(段)

　　[注]解決這一問題的關鍵是根據(jù)整除性把自右向左每隔5厘米的染色,轉化為自左向右的染色,便于利用最小公倍數(shù)發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象,化難為易.

　　（十四） 植樹問題

　　只要我們稍加留意，都會看到在馬路兩旁一般都種有樹木。細心觀察，這些樹木的間距一般都是等距離種植的。路長、間距、棵數(shù)之間存在著確定的關系，我們把這種關系叫做"植樹問題"。而植樹問題，一般又可分為封閉型的和不封閉型的（開放型的）。

　　封閉型的和不封閉型的植樹問題，區(qū)別在于間隔數(shù)（段數(shù)）與棵數(shù)的關系：

　　1、不封閉型的（多為直線上），一般情況為兩端植樹，如下圖所示，其路長、間距、棵數(shù)的關系是：

　　但如果只在一端植樹，如右圖所示，這時路長、間距、棵數(shù)的關系就是：

　　如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)比一端植樹還要再少一棵，其路長、間距、棵數(shù)的關系就是：

　　2、封閉型的情況（多為圓周形），如下圖所示，那么：

　　植樹問題的三要素：

　　總路線長、間距(棵距)長、棵數(shù)．

　　只要知道這三個要素中任意兩個要素，就可以求出第三個．

　　植樹問題的分類：

　　⑴直線型的植樹問題　⑵封閉型植樹問題　⑶特殊類型的植樹問題

　　一、例題與方法指導

　　例1 有一條公路長1000米，在公路的一側每隔5米栽一棵垂柳，可種植垂柳多少棵?

　　思路導航：

　　每隔5米栽一棵垂柳，即以兩棵垂柳之間的距離5米為一段。公路的全長1000米，分成5米一段，那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的兩端都要求種樹，所以要種植的棵數(shù)比分成的段數(shù)多1，所以，可種植垂柳200+1=201棵。

　　例2 某一淡水湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一株，在兩株柳樹中間種植2株夾枝桃，可栽柳樹多少株?可栽夾枝桃多少株?兩株夾枝桃之間相距多少米?

　　思路導航：