目錄

　　目錄    - 1 -

　　（一） 數(shù)的整除    - 2 -

　　（二） 數(shù)字謎    - 6 -

　　①    橫式字謎    - 6 -

　　②             豎式字謎    - 8 -

　　（三） 定義新運(yùn)算    - 11 -

　　（四） 行程問題    - 15 -

　　①    追擊及遇問題    - 15 -

　　②    火車過橋    - 19 -

　　（五） 列方程解應(yīng)用題    - 22 -

　　（六） 抽屜原理    - 27 -

　　（七） 不規(guī)則圖形面積計(jì)算（1）    - 30 -

　　（八） 不規(guī)則圖形面積計(jì)算（2）    - 34 -

　　（九） 邏輯推理    - 39 -

　　（十） 牛吃草    - 41 -

　　（十一） 流水行船    - 45 -

　　（十二） 奇數(shù)與偶數(shù)    - 47 -

　　（十三） 周期性問題    - 52 -

　　（十四） 植樹問題    - 56 -

　　（十五） 有趣的樹陣圖    - 59 -

　　（十六） 有趣的樹陣圖練習(xí)    - 63 -

　　（一） 數(shù)的整除

　　如果整除a除以不為零數(shù)b，所得的商為整數(shù)而余數(shù)為0，我們就說a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的約數(shù)，a叫做b的倍數(shù)。

　　數(shù)的整除的特征：

　　（1）    能被2整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是2、4、6、8、0，那么這個整數(shù)一定能被2整除。

　　（2）    能被3（或9）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的各個數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么這個整數(shù)一定能被3（或9）整除。

　　（3）    能被4（或25）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么這個數(shù)就一定能被4（或25）整除。

　　（4）    能被5整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是0或5，那么這個整數(shù)一定能被5整除。

　　（5）    能被6整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)能被2整除，又能被3整除，那么這個數(shù)就一定能被6整除。

　　（6）    能被7（或11或13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)分成兩個數(shù)，末三位為一個數(shù)，其余各位為另一個數(shù)，如果這兩個數(shù)之差是0或是7（或11或13）的倍數(shù)，這個數(shù)就能被7（或11或13）整除。

　　（7）    能被8（或125）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么這個數(shù)就一定能被8（或125）整除。

　　（8）    能被11整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除。

　　一、例題與方法指導(dǎo)

　　例1.     一個六位數(shù)23□56□是88的倍數(shù),這個數(shù)除以88所得的商是_____或_____.

　　思路導(dǎo)航：

　　一個數(shù)如果是88的倍數(shù),這個數(shù)必然既是8的倍數(shù),又是11的倍數(shù).根據(jù)8的倍數(shù),它的末三位數(shù)肯定也是8的倍數(shù),從而可知這個六位數(shù)個位上的數(shù)是0或8.而11的倍數(shù)奇偶位上數(shù)字和的差應(yīng)是0或11的倍數(shù),從已知的四個數(shù)看,這個六位數(shù)奇偶位上數(shù)字的和是相等的,要使奇偶位上數(shù)字和差為0,兩個方框內(nèi)填入的數(shù)字是相同的,因此這個六位數(shù)有兩種可能

　　23 0 56 0 或23 8 56 8

　　又 230560 88=2620

　　238568 88=2711

　　所以,本題的答案是2620或2711.

　　例2.     123456789□□,這個十一位數(shù)能被36整除,那么這個數(shù)的個位上的數(shù)最小是_____.

　　思路導(dǎo)航：

　　因?yàn)?6=9 4,所以這個十一位數(shù)既能被9整除,又能被4整除.因?yàn)?+2+…+9=45，由能被9整除的數(shù)的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的數(shù)的特征:這個數(shù)的末尾兩位數(shù)是4的倍數(shù),可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.這樣,這個十一位數(shù)個位上有0,2,6三種可能性.

　　所以,這個數(shù)的個位上的數(shù)最小是0.

　　例3.     下面一個1983位數(shù)33…3□44…4中間漏寫了一個數(shù)字(方框),已

　　991個   991個

　　知這個多位數(shù)被7整除，那么中間方框內(nèi)的數(shù)字是_____.

　　思路導(dǎo)航：

　　33…3□44…4

　　991個    991個

　　=33…3 10993+3□4 10990+44…4

　　990個                       990個

　　因?yàn)?11111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要

　　990個     990個

　　3□4能被7整除，原數(shù)即可被7整除.故得中間方框內(nèi)的數(shù)字是6.

　　例4.     有三個連續(xù)的兩位數(shù),它們的和也是兩位數(shù),并且是11的倍數(shù).這三個數(shù)是_____.

　　思路導(dǎo)航：

　　三個連續(xù)的兩位數(shù)其和必是3的倍數(shù),已知其和是11的倍數(shù),而3與11互質(zhì),所以和是33的倍數(shù),能被33整除的兩位數(shù)只有3個,它們是33、66、99.所以有

　　當(dāng)和為33時,三個數(shù)是10,11,12；

　　當(dāng)和為66時,三個數(shù)是21,22,23；

　　當(dāng)和為99時,三個數(shù)是32,33,34.

　　所以，答案為 10,11,12或21,22,23或32,33,34。

　　[注]"三個連續(xù)自然數(shù)的和必能被3整除"可證明如下：

　　設(shè)三個連續(xù)自然數(shù)為n,n+1,n+2,則

　　n+(n+1)+(n+2)

　　=3n+3

　　=3(n+1)

　　所以， 能被3整除.

　　二、鞏固訓(xùn)練

　　1.    有這樣的兩位數(shù),它的兩個數(shù)字之和能被4整除,而且比這個兩位數(shù)大1的數(shù),它的兩個數(shù)字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數(shù)的和是____.

　　2.    一個小于200的自然數(shù),它的每位數(shù)字都是奇數(shù),并且它是兩個兩位數(shù)的乘積,那么這個自然數(shù)是_____.

　　3.    任取一個四位數(shù)乘3456,用A表示其積的各位數(shù)字之和,用B表示A的各位數(shù)字之和,C表示B的各位數(shù)字之和,那么C是_____.

　　4.    有0、1、4、7、9五個數(shù)字，從中選出四個數(shù)字組成不同的四位數(shù)，如果把其中能被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來，第五個數(shù)的末位數(shù)字是_____.

　　1.  118

　　符合條件的兩位數(shù)的兩個數(shù)字之和能被4整除,而且比這個兩位數(shù)大1的數(shù),如果十位數(shù)不變,則個位增加1,其和便不能整除4,因此個位數(shù)一定是9,這種兩位數(shù)有:39、79.

　　所以,所求的和是39+79=118.

　　2． 195

　　因?yàn)檫@個數(shù)可以分解為兩個兩位數(shù)的積，而且15 15=225>200,所以其中至少有1個因數(shù)小于15,而且這些因數(shù)均需是奇數(shù),但11不可能符合條件,因?yàn)閷τ谛∮?00的自然數(shù)凡11的倍數(shù),具有隔位數(shù)字之和相等的特點(diǎn),個位百位若是奇數(shù),十位必是偶數(shù).所以只需檢查13的倍數(shù)中小于200的三位數(shù)13 13=169不合要求,13 15=195適合要求.所以,答案應(yīng)是195.

　　3.  9