例5 一個七位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數(shù)中，最大的是哪一個？
，要使它被11整除，要滿足
（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）
能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個數(shù)，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數(shù)是9876504.
再介紹另一種解法.
先用各位數(shù)字均不相同的最大的七位數(shù)除以11（參見下頁除式）.
要滿足題目的條件，這個數(shù)是9876543減6，或者再減去11的倍數(shù)中的一個數(shù)，使最后兩位數(shù)字是0，1，2，3，4中的兩個數(shù)字.
43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此這個數(shù)是9876504.
思考題：如果要求滿足條件的數(shù)最小，應(yīng)如何去求，是哪一個數(shù)呢？
（答：1023495）
例6 某個七位數(shù)1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三個數(shù)字組成的三位數(shù)是多少？
與上例題一樣，有兩種解法.
解一：從整除特征考慮.
這個七位數(shù)的最后一位數(shù)字顯然是0.
另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除.
1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數(shù)字和是5或14，要被8整除，最后三位組成的三位數(shù)要能被8整除，因此只可能是下面三個數(shù)：
1993500，1993320，1993680，
其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數(shù)是320.
解二：直接用除式來考慮.
2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數(shù)是2520，這個七位數(shù)要被2520整除.
現(xiàn)在用1993000被2520來除，具體的除式如下：
因?yàn)?2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.
例7 下面這個41位數(shù)
能被7整除，中間方格代表的數(shù)字是幾？
解：因?yàn)?111111＝3×7×11×13×37，所以
555555＝5×111111和999999＝9×111111
都能被7整除.這樣，18個5和18個9分別組成的18位數(shù)，也都能被7整除.
右邊的三個加數(shù)中，前、后兩個數(shù)都能被7整除，那么只要中間的55□99能被7整除，原數(shù)就能被7整除.
把55□99拆成兩個數(shù)的和：
55A00＋B99，
其中□=A+B.
因?yàn)?丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.
注意，記住111111能被7整除是很有用的.
例8 甲、乙兩人進(jìn)行下面的游戲.
兩人先約定一個整數(shù)N.然后，由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數(shù)字之一填入下面任一個方格中
每一方格只填一個數(shù)字，六個方格都填上數(shù)字（數(shù)字可重復(fù)）后，就形成一個六位數(shù).如果這個六位數(shù)能被N整除，就算乙勝；如果這個六位數(shù)不能被N整除，就算甲勝.
如果N小于15，當(dāng)N取哪幾個數(shù)時，乙能取勝？
解：N取偶數(shù)，甲可以在最右邊方格里填一個奇數(shù)（六位數(shù)的個位），就使六位數(shù)不能被N整除，乙不能獲勝.N＝5，甲可以在六位數(shù)的個位，填一個不是0或5的數(shù)，甲就獲勝.
上面已經(jīng)列出乙不能獲勝的N的取值.
如果N＝1，很明顯乙必獲勝.
如果N＝3或9，那么乙在填最后一個數(shù)時，總是能把六個數(shù)字之和，湊成3的整數(shù)倍或9的整數(shù)倍.因此，乙必能獲勝.
考慮N＝7，11，13是本題最困難的情況.注意到1001＝7×11×13，乙就有一種必勝的辦法.我們從左往右數(shù)這六個格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對，甲在一對格子的一格上填某一個數(shù)字后，乙就在這一對格子的另一格上填同樣的數(shù)字，這就保證所填成的六位數(shù)能被1001整除.根據(jù)前面講到的性質(zhì)2，這個六位數(shù)，能被7，11或13整除，乙就能獲勝.
綜合起來，使乙能獲勝的N是1，3，7，9，11，13.
記住，1001＝7×11×13，在數(shù)學(xué)競賽或者做智力測驗(yàn)題時，常常是有用的.
