六年級奧數課堂：整數問題之一

     整數是最基本的數，它產生了許多有趣的數學問題.在中、小學生的數學競賽中，有關整數的問題占有重要的地位.我們除了從課本上學習整數知識以外，還必須通過課外活動來補充一些整數的知識，以及解決問題的思路和方法。

　　對于兩位、三位或者更多位的整數，有時要用下面的方法來表示：

　　49=4×10+9，

　　235=2×100+3×10+5，

　　7064=7×1000+6×10+4，

　　…………………

　　就是

一、整除

　　整除是整數問題中一個重要的基本概念.如果整數a除以自然數b，商是整數且余數為0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，記作b丨a.此時，b是a的一個因數（約數），a是b的倍數.

　　1.整除的性質

　　性質1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（這里設a>b）.

　　例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.

　　性質2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

　　例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.

　　性質3 如果a能同時被m、n整除，那么a也一定

　　能被m和n的最小公倍數整除.

　　例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍數是18，18丨36.

　　如果兩個整數的最大公約數是1，那么它們稱為互質的.

　　例如：7與50是互質的，18與91是互質的.

　　性質4 整數a，能分別被b和c整除，如果b與c互質，那么a能被b×c整除.

　　例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質，72

　　能被3與4的乘積12整除.

　　性質4中，“兩數互質”這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因為6與8不互質，6與8的最大公約數是2.

　　性質4可以說是性質3的特殊情形.因為b與c互

　　質，它們的最小公倍數是b×c.事實上，根據性質4，我們常常運用如下解題思路：

　　要使a被b×c整除，如果b與c互質，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.

　　能被2，3，4，5，8，9，11整除的數都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數的整除問題.