難度：★★★★

　　小學五年級奧數天天練：約數與倍數

　　A,B兩數都僅含有質因數3和5,它們的最大公約數是75.已知數A有12個約數，數B有10個約數，那么A,B兩數的和等于多少?


　　【答案】

　　由題意知A可以寫成3×52×a，B可以寫成3×52×6,其中a、b為整數且只含質因子3、5.

　　即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均為自然數(可以為0)

　　由A有12個約數,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，

　　所以  .對應A為31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875；

　　由B有10個約數,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以 .對應B為31+0×52+2=1875．

　　只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．

　　那么A,B兩數的和為675+1875=2550

　　難度：★★★★★　

　　小學五年級奧數天天練：約數與倍數

　　兩個不同自然數的和是60，它們的最大公約數與最小公倍數的和也是60.問這樣的自然數共有多少組?


　　【答案】

　　解答：設這兩數為a,b,記a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．

　　它們的和為:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①

　　它們的最大公約數與最小公倍數的和為：

　　[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，

　　且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②

　　聯立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1．

　　即說明一個數是另一個數的倍數,不妨記a=kb(k為非零整數)，

　　有 ,即 確定，則k確定，則kb即a確定

　　60的約數有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60這12個，b可以等于1，2，3，4，5，6，10．12，15，20這10個數，（因為如果b=60，則(k+1)=1，而k為非零整數，矛盾；b=30，則a=30，a=b，矛盾）

　　對應的a、b有10組可能的值，即這樣的自然數有10組．

　　進一步，列出有(a,b)為（1,59），(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20)。