例3 從自然數1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個數使得所取出的數中任意三個數之和能被18整除？

　　解：設a，b，c，d是所取出的數中的任意4個數，則

　　a+b+c=18m，a+b+d=18n，

　　其中m，n是自然數。于是

　　c-d=18（m-n）。

　　上式說明所取出的數中任意2個數之差是18的倍數，即所取出的每個數除以18所得的余數均相同。設這個余數為r，則

　　a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，

　　其中a1，b1，c1是整數。于是

　　a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。

　　因為18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因為1000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個數，它們中的任意3個數之和能被18整除。

　　例4 求自然數N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內，它共有10個約數。

　　解：把數N寫成質因數乘積的形式

　　由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指數ak為自然數或零。依題意，有

　�。�a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。

　　由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故

　　a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，

　　即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2個不同的質因數5和7，因為a4+1≥3＞2，故由

　�。�a3+1）（a4+1）=10

　　知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=5^2-1×7^5-1=5×7⁴=12005。

　　例5 如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數，那么N等于多少個2與1個奇數的積？

　　解：因為2¹⁰=1024，2¹¹=2048＞2000，每一個不大于2000的自然數表示為質因數相乘，其中2的個數不多于10個，而1024=2¹⁰，所以，N等于10個2與某個奇數的積。

　　說明：上述5例都是根據題目的自身特點，從選擇恰當的整數表示形式入手，使問題迎刃而解。