1、如下圖，在一張由一組水平線和一組垂直線組成方格紙上，如果任意相鄰平行線之間的距離都相等，我們就把這樣兩組平行線的交點稱為格點（如下圖中的紅點），把圖中相鄰兩個格點的距離看著一個單位長度，把每個小正方形的面積看作一個面積單位（如圖中帶陰影的方格）。

　　一個多邊形的頂點如果全是格點，這個多邊形就叫做格點多邊形，本講就，學習求格點多邊形的面積問題。這種格點多邊形的面積計算起來很方便，一般有三種方法：①規(guī)則的格點多邊形，可以運用多邊形的面積公式求出面積；②一些簡單而又特殊的格點多邊形，可以通過數(shù)格子求出面積；③較復(fù)雜的不規(guī)則圖形，一般用皮克公式計算。其中數(shù)格子的方法比較原始，很少用。

　　任意格點多邊形，只要數(shù)出多邊形周界上的格點的個數(shù)及圖內(nèi)格點的個數(shù)，就可用下面的皮克公式算出面積：

　　格點多邊形面積=圖內(nèi)格點個數(shù)+周界格點數(shù)÷2-1

　　這個公式是皮克(Pick)在1899年給出的，被稱為“皮克定理”，這是一個實用而有趣的定理。

　　皮克定理的證明：

　　將格點圖中的每個點看作以這個點為圓心、以單位面積正方形的邊長的一半為半徑的圓。格點多邊形圖內(nèi)的點對應(yīng)的圓的面積都是圖形面積的一部分；而在多邊形邊界上的點對應(yīng)的圓的面積只有一半屬于這個多邊形，且多邊形每個角上的圓屬于圖內(nèi)的面積都不到半個圓，少了其外角對應(yīng)的扇形面積，因任意多邊形的外角和是360度，正好是個整圓，所以周界上圓在圖內(nèi)的面積為：周界格點數(shù)÷2-1

　　所以格點多邊形面積為：圖內(nèi)格點個數(shù)+周界格點數(shù)÷2-1。

　　皮克定理的證明過程比較抽象，孩子難以理解。本講只要求孩子初步認識格點面積公式，掌握格點面積公式的應(yīng)用，到初中還會進一步學習皮克定理。

　2、

　【解析】：

　　圖①是個平行四邊形，周界上有10個格點，圖內(nèi)有4個格點，根據(jù)格點面積公式，圖①的面積為：4+10÷2-1=8；

　　圖②是個梯形，周界上有8個格點，圖內(nèi)有2個格點，根據(jù)格點面積公式，圖②的面積為：2+8÷2-1=5；

　　圖③是個三角形，周界上有6個格點，圖內(nèi)有4個格點，根據(jù)格點面積公式，圖③的面積為：4+6÷2-1=6；

　　以上3個圖形都是規(guī)則圖形，但四年級學生還沒有學過這3種圖形的面積計算，不能用面積公式計算。

　　圖④是個六邊形，周界上有8個格點，圖內(nèi)有9個格點，根據(jù)格點面積公式，圖④的面積為：9+8÷2-1=12。

　　這四個圖形也可以用數(shù)格子的方法計算面積。

3、

　　下圖中喇叭、小貓、小狗的面積各是多少？

　　【解析】：

　　這三個圖形都適合用格點面積公式計算面積。

　　喇叭周界上有8個格點，圖內(nèi)沒有格點，面積為：0+8÷2-1=3；

　　小貓周界上有20個格點，圖內(nèi)有2個格點，面積為：2+20÷2-1=11；

　　小狗圖案可以看著是兩個格點多邊形組成，先分別求出每個格點多邊形的面積，再求出總面積。

　　軀干面積：0+12÷2-1=5；

　　尾巴面積：0+4÷2-1=1；

　　總面積：5+1=6。

　　像小狗圖案這樣，由兩個或兩個以上獨立的格點多邊形拼成的多邊形，要求其總面積，一般先求出每個獨立多邊形的面積，再求和，以免發(fā)生漏數(shù)多個獨立圖形公共格點的錯誤。

　下面是一個漂亮禮盒的平面圖，請你求出它的面積。

4、

　　【解析】：

　　這個禮盒平面圖是由3個獨立的格點多邊形組成的。

　　左邊三角形面積可以用皮克公式求出：4+4÷2-1=5；

　　右邊三角形面積可以用皮克公式求出：2+6÷2-1=4；

　　下面長方形長為6、寬為3，可以直接用長方形面積公式算出面積：6×3=18；

　　所以上圖總面積為：5+4+18=27。

    5、你知道下圖中共有多少個圖形嗎？每個圖形的面積各是多少？

　　【解析】：

　　這里所說的圖形既包括凸多邊形，也包括凹多邊形。圖中有8個三角形： AEC,AED,ADC,ABD,ABC,EBD,EBC,DBC；有3個四邊形：ADBC,ABDC,ABCD。

　　可以用皮克公式算出每個圖形的面積，例如四邊形ADBC的面積為：

　　21+8÷2-1=24。

　　其它圖形的面積：（略）。