學(xué)而思奧數(shù)天天練欄目每日精選中等、高等難度試題各一道。中難度試題適合一些有過思維基礎(chǔ)訓(xùn)練、考題學(xué)習(xí)經(jīng)歷，并且奧數(shù)成績(jī)中上的學(xué)生。高難度試題立足于杯賽真題、綜合應(yīng)用和加深各知識(shí)點(diǎn)，適合一些志在競(jìng)賽 中奪取佳績(jī)的學(xué)生。

　　·本周試題由學(xué)而思奧數(shù)名師徐研精選、解析，以保證試題質(zhì)量。

　　·每周末，我們將一周試題匯總為word版本試卷，您可下載打印或在線閱讀。

　　·每道題的答題時(shí)間不應(yīng)超過15分鐘。

　　難度：★★★★

　　小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)天天練：計(jì)算

　　已知[a，b]=1000，[b，c]=2000，[c，a]=2000，滿足上述要求的數(shù)組｛a，b，c｝共有多少組？


　　解答：已知當(dāng)a能被b整除時(shí)，有[a，b]=a.現(xiàn)在我們先固定a、b、c三個(gè)數(shù)中的某兩個(gè)，看第三個(gè)數(shù)有多少種可能性.先讓a=1000，c=2000，只要b是1000的約數(shù)，便有[a，b]=1000，[b，c]=2000，[a，c]=2000.因?yàn)?000=2³×5³，b又是a的約數(shù)，a的約數(shù)有[（3+1）×（3+1）=]16個(gè)，即b有16種可能，所以這樣的數(shù)組有16組.再讓b=1000，c=2000，這時(shí)只要a是1000的約數(shù)，題目中的條件都滿足，去掉與上面16種中相同的一種a=b=1000，c=2000，又有15（=16-1）組.

　　再看a、b、c三個(gè)數(shù)中固定一個(gè)數(shù)的情況.

　　讓c=2000，為保證滿足題目中的要求：[a，c]=2000，[b，c]=2000，a、b均應(yīng)為2000的約數(shù).為了使[a，b]=1000，而1000=2³×5³，所以a=2³×5ⁿ，b=5³×2^m.為去掉a=b=1000這一種情況，n可以取0、1、2三個(gè)值，m也可以取0、1、2三個(gè)值，即a可以是8、40、200這三個(gè)數(shù)，b可以是125、250、500這三個(gè)數(shù).所以這樣的數(shù)組有（3×3=）9組，交換a、b有9組.當(dāng)c=2000時(shí)，這樣的數(shù)組共有18組.

　　再讓a=1000，為保證題目中的條件得到滿足，即[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000，且不與上面已有的數(shù)組重復(fù).又因?yàn)?000=2³×5³，2000=2⁴×5³，故應(yīng)有b=2ⁿ×5³，c=2⁴×5^m.這里n可以取0、1、2、3四個(gè)數(shù)，m可以取0、1、2三種數(shù)，即b可以是125、250、500、1000這四個(gè)數(shù)，c可以是16、80、400這三個(gè)數(shù)，此時(shí)這樣的數(shù)組共有（4×3=）12組.

　　再讓b=1000，為保證題目中的條件[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000得到滿足，且不與上面已有的數(shù)組重復(fù)，根據(jù)1000=2³×5³，2000=2⁴×5³，故應(yīng)有a=2ⁿ×5³，c=2⁴×5^m.這里n只能取0、1、2三個(gè)數(shù)，m可以取0、1、2三個(gè)數(shù)，即a可以是125、250、500這三個(gè)數(shù)，c可以是16、80、400這三個(gè)數(shù)，此時(shí)這樣的數(shù)組共有（3×3=）9組.

　　把上述各種情況下的組數(shù)相加，便是所求的答案.

　　滿足要求的a、b、c數(shù)組共有：

　　16+15+18+12+9=70

　　注意：這里125，1000，16和1000，125，16算兩組.



 


　　難度：★★★★★

　　小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)天天練：排號(hào)

　　1991名同學(xué)從左到右按編號(hào)1到1991排成一列，然后從左到右1至3報(bào)數(shù)，凡報(bào)2的同學(xué)留下，其余的同學(xué)都離開.留下的同學(xué)按原順序向左看齊后再 1至3報(bào)數(shù)，凡報(bào)2的同學(xué)留下，其余的同學(xué)都離開，留下的同學(xué)按原順序向左看齊后再1至3報(bào)數(shù)，依次重復(fù)上面的做法，直到留下的學(xué)生人數(shù)比3少為止.問最 后留下的一個(gè)或兩個(gè)同學(xué)中，站在第一號(hào)位上的同學(xué)在一開始站在什么號(hào)位上？


　　解答：我們先從100人著手，看看有什么規(guī)律，能不能用這個(gè)規(guī)律解決這個(gè)問題，

　　因?yàn)?00÷3=33余1，所以第一次報(bào)數(shù)后只留下33人，他們按原來編號(hào)排列如下：

　　2，5，8，11，14，17，20，23，…，92，95，98，而他們的新編號(hào)依次為1，2，3，…，31，32，33.

　　又因?yàn)?-2=3，8-5=3，…，95-92=3，98-95=3，所以第一次報(bào)數(shù)后站在新編號(hào)1，2，3，…，31，32，33等號(hào)位上的人，他們?cè)陂_始隊(duì)伍中的號(hào)位數(shù)，正好等于新號(hào)位數(shù)減1后與3相乘，再加2，也就是：

　　原號(hào)位數(shù)=（新號(hào)位數(shù)-1）×3+2

　　又因?yàn)?3÷3=11，所以第二次報(bào)數(shù)后只留下11人，他們按原來的編號(hào)排列如下：

　　5，14，23，32，41，50，59，68，77，86，95

　　他們的新編號(hào)依次為：

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11

　　又因?yàn)?4-5=9，23-14=9，32-23=9，…，86-77=9，95-86=9，5=3+2，所以第二次報(bào)數(shù)后，站在新編號(hào)1，2，3，…，11等號(hào)位上的人，他們?cè)谝婚_始隊(duì)伍中的號(hào)位數(shù)，正好等于新號(hào)位數(shù)減1與9相乘，再加3，加2，即

　　原號(hào)位數(shù)=（新號(hào)位數(shù)-1）×3²+3+2

　　因?yàn)?1÷3=3余2，所以第三次報(bào)數(shù)后只留下4人，他們按原來的編號(hào)排列如下：14，41，68，95.他們的新編號(hào)依次為1，2，3，4.

　　又因?yàn)?1-14=27，68-41=27，95-68=27，14=9+3+2，所以第三次報(bào)數(shù)后，站在新編號(hào)1，2，3，4號(hào)位上的人，他們?cè)谝婚_始隊(duì)伍中的號(hào)位數(shù)，正好等于新號(hào)位數(shù)減 1與 27相乘，再加 9、加3、加2，也就是：

　　原號(hào)位數(shù)=（新號(hào)位數(shù)-1）×3³+3²+3+2

　　又因?yàn)?÷3=1余1，所以第四次報(bào)數(shù)后只留下1人，他就是41號(hào)，而41=27+3²+3+2.

　　如果我們用a、b分別代表原號(hào)位與新號(hào)位數(shù)，那么經(jīng)過第一、二、三、四次報(bào)數(shù)后，a、b之間存在下面的關(guān)系式：

　　a=（b-1）×3+2

　　a=（b-1）×3²+3+2

　　a=（b-1）×3³+3²+3+2

　　a=（b-1）×3⁴+3³+3²+3+2

　　分析對(duì)比這四個(gè)式子和報(bào)數(shù)的關(guān)系后，可得到一個(gè)更一般的關(guān)系式，即第k次報(bào)數(shù)后，a與b之間的關(guān)系可用下式表示：

　　a=（b-1）×3^k+33^k-1+…+3²+3+2

　　因?yàn)?991÷3=663……2，

　　664÷3=221……1，221÷3=73……2，

　　74÷3=24……2，25÷3=8……1，

　　8÷3=2……2，3÷3=1，

　　即1991名同學(xué)要報(bào)7次名后，最后才剩1人，也就是上面一般等式中的k=7，就有

　　a=（1-1）×37+36+35+3⁴+3³+3²+3+2

　　=2+3+9+27+81+243+729

　　=1094

　　這就說明了最后站在第一號(hào)位上的同學(xué)一開始站在1094號(hào)位上.