中國(guó)剩余定理
年級(jí) 班 姓名 得分
一、填空題
1. 有一個(gè)數(shù)，除以3余數(shù)是1，除以4余數(shù)是3，這個(gè)數(shù)除以12余數(shù)是_____.
2. 一個(gè)兩位數(shù),用它除58余2,除73余3,除85余1,這個(gè)兩位數(shù)是_____.
3. 學(xué)習(xí)委員收買練習(xí)本的錢,她只記下四組各交的錢,第一組2.61元,第二組3.19元,第三組2.61元,第四組3.48元,又知道每本練習(xí)本價(jià)格都超過(guò)1角,全班共有_____人.
4. 五年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生一起排隊(duì)出操,如果9人排一行,多出一個(gè)人；如果10人排一行，同樣多出一個(gè)人.這兩個(gè)班最少共有_____人.
5. 一個(gè)數(shù)能被3、5、7整除，若用11去除則余1，這個(gè)數(shù)最小是_____.
6. 同學(xué)們進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練,如果每排8人,最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人.參加隊(duì)列訓(xùn)練的學(xué)生最少有_____人.
7. 把幾十個(gè)蘋果平均分成若干份,每份9個(gè)余8個(gè),每份8個(gè)余7個(gè),每份4個(gè)余3個(gè).這堆蘋果共有_____個(gè).
8. 一筐蘋果,如果按5個(gè)一堆放,最后多出3個(gè).如果按6個(gè)一堆放,最后多出4個(gè).如果按7個(gè)一堆放,還多出1個(gè).這筐蘋果至少有_____個(gè).
9. 除以3余1,除以5余2,除以7余4的最小三位數(shù)是_____.
10. 有一筐雞蛋,當(dāng)兩個(gè)兩個(gè)取、三個(gè)三個(gè)取、四個(gè)四個(gè)取、五個(gè)五個(gè)取時(shí)，筐內(nèi)最后都是剩一個(gè)雞蛋；當(dāng)七個(gè)七個(gè)取出時(shí)，筐里最后一個(gè)也不剩.已知筐里的雞蛋不足400個(gè),那么筐內(nèi)原來(lái)共有_____個(gè)雞蛋.
二、解答題
11．有一盒乒乓球，每次8個(gè)8個(gè)地?cái)?shù)，10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù)，12個(gè)12個(gè)地?cái)?shù)，最后總是剩下3個(gè).這盒乒乓球至少有多少個(gè)?
12. 求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整數(shù).
13. 一盒圍棋子,三只三只數(shù)多二只,五只五只數(shù)多四只,七只七只數(shù)多六只,若此盒圍棋子的個(gè)數(shù)在200到300之間,問(wèn)有多少圍棋子?
14. 求一數(shù),使其被4除余2,被6除余4,被9除余8.
---------------答 案----------------------
1. 7
因?yàn)槌?余數(shù)是1的數(shù)是
1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…
除以4余數(shù)是3的數(shù)是3,7,11,15,19,23,27,31…
所以，同時(shí)符合除以3余數(shù)是1，除以4余數(shù)是3的數(shù)有7，19，31，…這些數(shù)除以12余數(shù)均為7.
2. 14
用一個(gè)兩位數(shù)除58余2,除73余3,除85余1,那么58-2=56, 73-3=70,85-1=84能被這個(gè)兩位數(shù)整除,這個(gè)兩位數(shù)一定是56、70和84的公約數(shù).
2 56 70 84
7 28 35 42
4 5 6
由可可見(jiàn),56、70、84的兩位數(shù)公約數(shù)是2 7=14，可見(jiàn)這個(gè)兩位數(shù)是14.
3. 41
根據(jù)題意得
319-261=練習(xí)本單價(jià) 第二、一組人數(shù)之差，
348-319=練習(xí)本單價(jià) 第四、二組人數(shù)之差.即
練習(xí)本單價(jià) 第二、一組人數(shù)之差=58,
練習(xí)本單價(jià) 第四、二組人數(shù)之差=29，
所以,練習(xí)本單價(jià)是58與29的公約數(shù),這樣,練習(xí)本的單價(jià)是29分,即0.29元.
因此,全班人數(shù)是
(2.61 2+3.19+3.48) 0.29
=11.89 0.29
=41(人)
[注]這里為了利用練習(xí)本單價(jià)是總價(jià)的公約數(shù)這一隱含條件,將小數(shù)化成整數(shù)來(lái)考慮,為解決問(wèn)題提供了方便.這里也可直接找261、319和348的公約數(shù)，但比較困難.上述解法從一定意義上說(shuō)是受了輾轉(zhuǎn)相除法的啟示.
4. 91
如果將兩個(gè)班的人數(shù)減少1人,則9人一排或10人一排都正好排完沒(méi)有剩余,所以兩班人數(shù)減1是9和10的公倍數(shù),又要求這兩班至少有幾人,可以求出9和10的最小公倍數(shù),然后再加上1.所以,這兩個(gè)班最少有
9 10+1=91(人)
5. 210
一個(gè)數(shù)能被3,5,7整除,這個(gè)數(shù)一定是3,5,7的公倍數(shù).3,5,7的公倍數(shù)依次為:105,210,315,420,……，其中被11除余數(shù)為1的最小數(shù)是210，所以這個(gè)最小數(shù)是210.
6. 46人.
如果總?cè)藬?shù)少6人,則每排8人和每排10人,均恰好排完無(wú)剩余.由此可見(jiàn),人數(shù)比10和8的最小公倍數(shù)多6人,10和8的最小公倍數(shù)是40,所以參加隊(duì)列訓(xùn)練的學(xué)生至少有46人.
7. 71
依題意知,這堆蘋果總個(gè)數(shù),添進(jìn)1個(gè)蘋果后,正好是9,8,4的倍數(shù).因?yàn)?,8,4的最小公倍數(shù)是9 8=72,所以這堆蘋果至少有9 8-1=71(個(gè)).
[注]本題為什么求9,8,4的最小公倍數(shù)呢?這是根據(jù)限制條件"這堆蘋果共幾十個(gè)"決定的.若限制條件改為"這堆蘋果的個(gè)數(shù)在100-200之間"的話，那么這堆蘋果共有9 8 2-1=141（個(gè)）.因此，在解答問(wèn)題時(shí)，一定要把條件看清楚，尤其要注意"隱含條件"的應(yīng)用.
8. 148
從6和7的公倍數(shù)42,84,126,……中找到除以5余3的數(shù)是378（可以先找到除以5余1的數(shù)126，再乘以3即可）.
從5和7的公倍數(shù)35,70,……中找到除以6余4的數(shù)是70.
從5和6的公倍數(shù)30,60,90，120，……中找到除以7余1的數(shù)是120.
5,6,7的最小公倍數(shù)是5 6 7=210.
所以,這筐蘋果至少有
568-210 2=148個(gè).
9. 172
因?yàn)槌?余1,除以5余2的最小數(shù)是22,而3和5的最小公倍數(shù)是15,所以符合條件的數(shù)可以是22,37,52,67,…….又因?yàn)?7 7=9…4，所以67是符合題中三個(gè)條件的最小數(shù)，而3，5和7的最小公倍數(shù)是105，這樣符合條件的數(shù)有67，172，277，….
所以,符合條件的最小三位數(shù)是172.
10. 301
先求出2,3,4,5的最小公倍數(shù)是60,然后用試驗(yàn)法求出60的倍數(shù)加1能被7整除的數(shù)
60+1=61
60 2+1=121
60 3+1=181
60 4+1=241
60 5+1=301
其中301能被7整除.所以筐內(nèi)原來(lái)有301個(gè)雞蛋.
11. 如果這盒乒乓球少3個(gè)的話,8個(gè)8個(gè)地?cái)?shù),10個(gè)10個(gè)地?cái)?shù),12個(gè)12個(gè)的數(shù)都正好無(wú)剩余,也就是這盒乒乓球減少3個(gè)后是8,10,12的公倍數(shù),又要求至少有多少個(gè)乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍數(shù),然后再加上3.
2 8 10 12
2 4 5 6
2 5 3
故8,10,12的最小公倍數(shù)是2 2 2 5 3=120.所以這盒乒乓球有123個(gè).
12. 設(shè)所求數(shù)為 ,則 +2就能同時(shí)被6,8,10整除.由于[6,8,10]=120,所以 =120-2=118
13. 設(shè)有 個(gè)圍棋子,則 +1是3,5,7的倍數(shù), +1是[3,5,7]=3 5 7=105的倍數(shù), +1=210, =209.
14. 無(wú)解,若該數(shù)存在必為8+18 ( 為整數(shù)),它被6除只能余2,矛盾.
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