“函數(shù)”是數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念。一位著名數(shù)學(xué)家說過“函數(shù)概念是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想之花”。它的產(chǎn)生、發(fā)展實(shí)質(zhì)上反映了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)迅速發(fā)展的歷程，同時也與函數(shù)論、解析數(shù)學(xué)的發(fā)展相輔相成。張圣蓉選擇了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要前沿分支之一“函數(shù)論”作為攻讀對象。她的導(dǎo)師是一位著名的函數(shù)論世界大師，她要同函數(shù)論專家一道去摘取函數(shù)論皇冠上的明珠。

    1974年，張圣蓉獲伯克利加利福尼亞大學(xué)博士學(xué)位，從此在美國從事函數(shù)論的研究工作。她對函數(shù)論中復(fù)平面上的解析函數(shù)、多復(fù)變函數(shù)以及有界函數(shù)的解析函數(shù)的逼近等高深領(lǐng)域都有涉獵，1976年，28歲的張圣蓉通過對道格拉斯函數(shù)的研究撰寫了世人沒有發(fā)現(xiàn)的這類函數(shù)特征的論文，這為第二年著名數(shù)學(xué)家馬歇爾解決著名的道格拉斯猜測鋪平了道路。張圣蓉一鳴驚人，1977年又撰寫出另一篇令函數(shù)論專家驚嘆的論文，證明了馬歇爾攻克道格拉斯猜測中的一個未發(fā)現(xiàn)的難題。在清一色的男數(shù)學(xué)家主導(dǎo)的函數(shù)論領(lǐng)域，她確立了自己的地位。