我們可以想象平面上有一條會(huì)運(yùn)動(dòng)的線段，不同的運(yùn)動(dòng)方式它所掃過(guò)的圖形當(dāng)然是不同的。比如平行移動(dòng)可以掃過(guò)一個(gè)矩形。這一講我們重點(diǎn)研究一條線段繞一個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的情況。
問(wèn)題1 如圖1，線段AB的長(zhǎng)度為1厘米，那么畫(huà)出這條線段分別繞A點(diǎn)和B點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°所掃過(guò)的圖形，并求出相應(yīng)圖形的面積。
問(wèn)題2 如圖3，ABCD是一個(gè)長(zhǎng)為4，寬為3，對(duì)角線長(zhǎng)度為5的長(zhǎng)方形。它繞C點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，分別求出四條邊掃過(guò)圖形的面積。
我們可以先畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖4）。
首先容易發(fā)現(xiàn)DC邊和BC邊旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的圖形
因此，DC邊掃過(guò)圖形的面積為4π平方厘米，BC邊掃過(guò)圖形的面積
在整個(gè)AB邊上，距離C點(diǎn)最近的點(diǎn)是B點(diǎn)，最遠(yuǎn)的點(diǎn)是A點(diǎn)，因此整條線段所掃過(guò)部分應(yīng)該介于這兩個(gè)點(diǎn)所掃過(guò)弧線之間，見(jiàn)圖6中陰影部分：
下面我們來(lái)求這部分的面積。
觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實(shí)際上是：
（扇形ACA面積+三角形ABC面積）-（三角形ABC面積+扇形BCB面積）
=扇形ACA面積-扇形BCB面積
=4π
下面再來(lái)研究AD邊掃過(guò)的圖形。
由于在整條線段上距離C點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是A，最近的點(diǎn)是D，所以我們可以畫(huà)出AD邊掃過(guò)的圖形，如圖7陰影部分所示：
用與前面同樣的方法可以求出面積為：
解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠相對(duì)準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形。
問(wèn)題3 如圖8是一個(gè)等腰直角三角形ABC，直角邊長(zhǎng)度為1，將整個(gè)三角形繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，求斜邊掃過(guò)圖形的面積。
先畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖9）：
可以看出，距離C點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是A點(diǎn)和B點(diǎn)，最近的點(diǎn)是AB邊的中點(diǎn)D，因此我們可以畫(huà)出AB邊掃過(guò)的圖形，如圖10陰影部分：
下面來(lái)求這部分的面積：
我們可以把所求面積的部分分為兩個(gè)部分，兩個(gè)弓形的面積為：
因此所求部分的面積就是：
同學(xué)們可以進(jìn)一步思考，比如平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題、一般三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題等等，此類問(wèn)題的解決對(duì)提高解決幾何圖形問(wèn)題的能力是非常有益的。
